線形代数例

$[\begin{array}{c} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & - b \\ 0 & 0 & c & d \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} d & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & - b \\ 0 & 0 & d \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & - b \\ 0 & 0 & d \end{array} |$

ステップ 1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & c \end{array} |$

ステップ 1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & c \end{array} |$

ステップ 1.11

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} d & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & - b \\ 0 & 0 & d \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & c \end{array} |$

ステップ 2

$0$ に $| \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & - b \\ 0 & 0 & d \end{array} |$ をかけます。

$a | \begin{array}{c} d & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & c \end{array} |$

ステップ 3

$0$ に $| \begin{array}{c} c & d & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & c \end{array} |$ をかけます。

$a | \begin{array}{c} d & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} d & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} |$

ステップ 4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$d | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} |$

ステップ 4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} |$

ステップ 4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} |$

ステップ 4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |$

ステップ 4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |$

ステップ 4.1.9

Add the terms together.

$a (d | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} |$ をかけます。

$a (d | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |$ をかけます。

$a (d | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} | + 0 + 0) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.4

$| \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (d (a d - c (- b)) + 0 + 0) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (d (a d - 1 \cdot - 1 c b) + 0 + 0) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.4.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a (d (a d + 1 c b) + 0 + 0) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.4.2.3

$c$ に $1$ をかけます。

$a (d (a d + c b) + 0 + 0) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$d (a d + c b) + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$d (a d + c b)$ と $0$ をたし算します。

$a (d (a d + c b) + 0) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.2

$d (a d + c b)$ と $0$ をたし算します。

$a (d (a d + c b)) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.2

分配則を当てはめます。

$a (d (a d) + d (c b)) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.3

指数を足して $d$ に $d$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

$d$ を移動させます。

$a (d \cdot d a + d (c b)) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.3.2

$d$ に $d$ をかけます。

$a (d^{2} a + d (c b)) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

$a (d^{2} a + d c b) - b | \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 5

$| \begin{array}{c} c & 0 & 0 \\ 0 & a & - b \\ 0 & c & d \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$c | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$a (d^{2} a + d c b) - b (c | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |) + 0 + 0$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & - b \\ 0 & d \end{array} |$ をかけます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |) + 0 + 0$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & c \end{array} |$ をかけます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c | \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} a & - b \\ c & d \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c (a d - c (- b)) + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c (a d - 1 \cdot - 1 c b) + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.4.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c (a d + 1 c b) + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.4.2.3

$c$ に $1$ をかけます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c (a d + c b) + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$c (a d + c b) + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$c (a d + c b)$ と $0$ をたし算します。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c (a d + c b) + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.5.1.2

$c (a d + c b)$ と $0$ をたし算します。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c (a d + c b)) + 0 + 0$

ステップ 5.5.2

分配則を当てはめます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c (a d) + c (c b)) + 0 + 0$

ステップ 5.5.3

指数を足して $c$ に $c$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$c$ を移動させます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c a d + c \cdot c b) + 0 + 0$

ステップ 5.5.3.2

$c$ に $c$ をかけます。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c a d + c^{2} b) + 0 + 0$

ステップ 6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$a (d^{2} a + d c b) - b (c a d + c^{2} b) + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$a (d^{2} a + d c b) - b (c a d + c^{2} b)$ と $0$ をたし算します。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c a d + c^{2} b) + 0$

ステップ 6.1.2

$a (d^{2} a + d c b) - b (c a d + c^{2} b)$ と $0$ をたし算します。

$a (d^{2} a + d c b) - b (c a d + c^{2} b)$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$a (d^{2} a) + a (d c b) - b (c a d + c^{2} b)$

ステップ 6.2.2

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$a$ を移動させます。

$a \cdot a d^{2} + a (d c b) - b (c a d + c^{2} b)$

ステップ 6.2.2.2

$a$ に $a$ をかけます。

$a^{2} d^{2} + a (d c b) - b (c a d + c^{2} b)$

ステップ 6.2.3

分配則を当てはめます。

$a^{2} d^{2} + a d c b - b (c a d) - b (c^{2} b)$

ステップ 6.2.4

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$b$ を移動させます。

$a^{2} d^{2} + a d c b - b c a d - (b \cdot b) c^{2}$

ステップ 6.2.4.2

$b$ に $b$ をかけます。

$a^{2} d^{2} + a d c b - b c a d - b^{2} c^{2}$

ステップ 6.3

$a^{2} d^{2} + a d c b - b c a d - b^{2} c^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$a d c b$ と $- b c a d$ について因数を並べ替えます。

$a^{2} d^{2} + a b c d - a b c d - b^{2} c^{2}$

ステップ 6.3.2

$a b c d$ から $a b c d$ を引きます。

$a^{2} d^{2} + 0 - b^{2} c^{2}$

ステップ 6.3.3

$a^{2} d^{2}$ と $0$ をたし算します。

$a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}$

線形代数 例

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